MATEMÁTICA – 12ª SEMANA E 31/08
ANO/SEGMENTO: 8º Ano/ Anos Finais
COMPONENTE CURRICULAR: Matemática
UNIDADES TEMÁTICAS: Grandezas e medidas.
OBJETOS DE CONHECIMENTO:
I)
Área de figuras planas;
II)
Área do círculo e comprimento de sua
circunferência.
HABILIDADES:
(EF08MA19) Resolver e elaborar
problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando
expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em
situações como determinar medida de terrenos.
DESENVOLVIMENTO DO PLANO:
Áreas de Figuras
Planas:
As áreas
das figuras planas medem o tamanho da superfície da
figura. Desse modo, podemos pensar que quanto maior a superfície da figura,
maior será sua área.
Geometria Plana:
A Geometria plana é a área
da matemática que estuda as figuras planas. Ou seja, aquelas que possuem
comprimento e largura, sendo figuras bidimensionais (duas dimensões).
Principais Figuras Planas:
Antes de apresentar as fórmulas das áreas das figuras planas, devemos
atentar para cada uma delas:
Triângulo:
Polígono formado por três lados. São classificados de acordo com as
medidas dos lados, bem como seus ângulos:
Quanto a medida dos lados:
·
Triângulo
Equilátero: apresenta lados e ângulos internos iguais (60°);
·
Triângulo
Isósceles: apresenta dois lados e dois ângulos internos congruentes;
·
Triângulo
Escaleno: apresenta todos os lados e ângulos internos diferentes.
Quanto a medida dos ângulos:
·
Triângulo
Retângulo: possui um ângulo interno de 90°;
·
Triângulo Obtusângulo: possui dois
ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo obtuso interno,
maior que 90°;
·
Triângulo Acutângulo: possui três
ângulos internos menores que 90°.
Perímetro do Triângulo:
O perímetro do triângulo corresponde a soma de todos
os lados dessa figura plana.
Lembre-se que o triângulo é um polígono (figura plana e fechada) que possui
três lados.
Assim, para calcular o perímetro do triângulo basta somar as medidas de
seus lados.
Fórmula do Perímetro:
Ainda que existam diversos tipos de triângulos, a fórmula para
encontrar o perímetro do triângulo é a mesma para todos eles:
P = L+L+L
ou
P = 3L
Onde,
P: perímetro
L: lados
Atenção!
O perímetro e a área são dois conceitos da geometria plana que
muitas vezes causam confusão.
No entanto, a área representa a medida da superfície da figura e
é sempre calculada em cm2 (centímetro quadrado), m2 (metro quadrado) ou Km2 (quilômetro
quadrado).
Já o perímetro, corresponde a soma de todos os lados da figura e
é calculado em cm (centímetros), m (metros) ou km (quilômetro).
Área
do Triângulo:
A área do triângulo pode ser calculada através
das medidas da base e da altura da figura. Lembre-se que o triângulo é uma
figura geométrica plana formada por três lados.
Contudo, há diversas maneiras de calcular a área de um
triângulo, sendo que a escolha é feita de acordo com os dados conhecidos no
problema.
Acontece que muitas vezes, não temos todas as medidas
necessárias para fazer esse cálculo.
Nestes casos, devemos identificar o tipo de triângulo
(retângulo, equilátero, isósceles ou escaleno) e levar em consideração as suas características
e propriedades para encontrar as medidas que necessitamos.
Como calcular a área de um
triângulo?
Na maioria das situações, usamos as medidas da base e da altura de um triângulo para calcular a sua área. Considere o triângulo representado abaixo, sua área será calculada, usando a seguinte fórmula:
Sendo,
Área: área do triângulo
b: base
h:altura
Paralelogramo:
O paralelogramo é uma figura plana que possui quatro
lados. Ele faz parte dos estudos da geometria plana sendo um quadrilátero
cujos lados opostos são paralelos.
Em outras palavras, os paralelogramos são polígonos de quatro lados opostos congruentes (que
possuem a mesma medida), por exemplo, o quadrado, o losango e o retângulo.
Área do Paralelogramo:
Para encontrar a área do paralelogramo, basta calcular o produto
da medida da base pela altura, expressa pela fórmula:
A
= b.h
Onde,
A: área
b: base
h: altura
Perímetro do Paralelogramo:
O perímetro do paralelogramo é a soma de todos os lados da
figura.
Quadrado:
Quadrado:
Quadrilátero regular formado por quatro lados congruentes (mesma medida). Ele é
formado por quatro ângulos internos de 90°, os quais são chamados de ângulos
retos.
Perímetro do
Quadrado:
O perímetro do quadrado corresponde
a soma dos quatro lados dessa figura plana.
Lembre-se que o quadrado é um quadrilátero regular que apresenta
lados com as mesmas medidas (congruentes). Assim, essa figura é composta por
quatro ângulos retos (90°).
Fórmula do Perímetro:
O perímetro do quadrado é calculado utilizando a fórmula:
P
= L + L + L + L
ou
P = 4L
Área do
Quadrado:
A área do quadrado corresponde
ao tamanho da superfície dessa figura. Lembre-se que o quadrado é um
quadrilátero regular que apresenta quatro lados congruentes (mesma medida).
Além disso, ele possui quatro ângulos internos de 90°, chamados
de ângulos retos. Assim, a soma dos ângulos internos do quadrado totaliza 360°.
Fórmula da Área:
Para calcular a área do quadrado, basta multiplicar a medida de dois
lados (L) dessa figura. Muitas vezes os lados são chamados de base (b) e altura
(h). No quadrado a base é igual à altura (b=h). Logo, temos a fórmula da área:
A =L.L = L2 ou A
= b.h
Observe que o valor geralmente será dado em cm2 ou m2. Isso porque o cálculo
corresponde a multiplicação entre duas medidas. (cm . cm = c2 ou m . m = m2).
Exemplo:
Encontra a área de um quadrado com 17 cm de lado.
A = 17 cm . 17 cm
A =
289 cm2
Retângulo:
Retângulo: quadrilátero formado por
quatro lados, dois deles na vertical e dois na horizontal. Da mesma forma que o
quadrado, ele apresenta quatro ângulos internos de 90° (retos).
Além disso, seus lados opostos são paralelos, por isso, o
retângulo é um paralelogramo. Quando seus lados tiverem mesma medida ele também
será um quadrado. Ou seja, um quadrado é um retângulo especial.
Perímetro do
Retângulo:
O perímetro
do retângulo é a soma das medidas de todos os lados dessa
figura geométrica plana.
Área do Retângulo:
Assim, a fórmula da área do retângulo é expressa da seguinte
forma:
A = b . h
Donde: A:
área
b: base
h: altura
Trapézio:
Trapézio: quadrilátero notável com dois lados
e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. A soma de seus ângulos
internos totaliza 360°. São classificados em:
·
Trapézio Retângulo: apresenta dois
ângulos de 90º (ângulos retos);
· Trapézio Isósceles: também chamado de
trapézio simétrico donde os lados não paralelos possuem a mesma medida;
·
Trapézio Escaleno: todos os lados
apresentam medidas diferentes.
Área do Trapézio:
A área do trapézio mede o valor da superfície dessa
figura plana formada por quatro lados.
O trapézio é um quadrilátero que possui dois lados e duas bases
paralelas, sendo que uma é maior e outra menor.
O trapézio é considerado um quadrilátero notável, de forma que a soma de
seus ângulos internos corresponde a 360°.
Classificação dos Trapézios
Os trapézios são classificados em três tipos:
·
Trapézio Retângulo: apresenta dois
ângulos de 90º, chamados de ângulos retos.
· Trapézio Isósceles ou Simétrico: os lados não
paralelos são congruentes (possuem a mesma medida).
·
Trapézio Escaleno: todos os lados possuem medidas
diferentes.
Fórmula da Área:
Para calcular a área do trapézio utilizamos a seguinte fórmula:
Onde:
A: área da figura
B: base maior
b: base menor
h: altura
Fórmula do Perímetro:
Para calcular o perímetro do trapézio utiliza-se a fórmula:
P =
B + b + L1 + L2
Onde:
P: perímetro (soma
de todos os lados)
B: base maior
b: base menor
L1 e L2: lados da figura
Losango:
Losango: quadrilátero equilátero
formado por quatro lados iguais. Apresenta dois lados e ângulos opostos
congruentes e paralelos, com duas diagonais que se cruzam perpendicularmente.
Ele possui dois ângulos agudos (menores que 90º) e dois ângulos obtusos
(maiores que 90º).
Área do Losango:
O Losango é uma figura
geométrica plana representada por um quadrilátero equilátero, ou seja, um
polígono formado por quatro lados iguais.
Importante destacar que todo losango é um paralelogramo, cujos
lados opostos são iguais e paralelos, com duas diagonais que se cruzam
perpendicularmente.
Diferente do quadrado, que possui quatro ângulos iguais a 90º, o
losango possui dois ângulos agudos (menores que 90º) e dois ângulos obtusos
(maiores que 90º).
Assim, enquanto o losango é um paralelogramo composto de quatro
lados congruentes, o retângulo é um paralelogramo composto de quatro ângulos
congruentes. Já o quadrado, é um paralelogramo composto de quatro lados e
quatro ângulos congruentes.
Fórmula da Área:
Para calcular a área do losango é
necessário traçar duas diagonais. Dessa forma tem-se 4 triângulos retângulos
(com ângulo reto de 90º) iguais.
Assim, podemos encontrar a área do losango a partir da área de 4
triângulos retângulos ou 2 retângulos.
A fórmula para encontrar a área do losango é representada da seguinte maneira:
Sendo:
A:a área do losango
D1: a diagonal maior
D2: a diagonal maior.
Círculo:
Círculo: Figura plana também chamada de
disco. Apresenta uma forma circular. O raio do círculo representa a medida
entre o ponto central da figura e uma das extremidades.
Já o diâmetro equivale duas vezes o raio, posto que representa o
segmento de reta que passa pelo centro do círculo, dividindo-o em duas metades
iguais.
Área do Círculo:
A área
do círculo corresponde ao valor da superfície dessa figura,
levando em conta a medida de seu raio (r).
Fórmula: Cálculo da Área do
Círculo
Para calcular a área do círculo devemos utilizar a seguinte fórmula:
A = π . r2
Onde,
π: constante Pi (3,14)
r: raio
Fique Atento!
Lembre-se que o raio (r) corresponde a
distância entre o centro e a extremidade do círculo.
Já o diâmetro é um segmento de
reta que passa pelo centro do círculo, dividindo-o em duas metades iguais. Dito
isso, o diâmetro equivale duas vezes o raio (2r).
Perímetro do Círculo:
O perímetro é um conceito da matemática que mede o comprimento
(contorno) de determinada figura. Em outras palavras, o perímetro é a soma de
todos os lados de uma figura geométrica.
No caso do círculo, o perímetro é chamado de circunferência e é calculado pelo dobro da medida
do raio (2r). Assim, o perímetro da circunferência é medido pela fórmula:
P =
2 π . r
Revisão:
Fórmula das Áreas das Figuras
Planas:
Exercícios Propostos: Aluno Resolve
01. Em um triangulo cuja base é 10 cm e a altura é
6 cm. Encontre:
a) Área
b) O perímetro do
triangulo sabendo que seus lados medem 10cm, 8cm, 4cm.
02. Em um quadrado de lado
8cm, determine seu perímetro e sua área.
03. Em um retângulo de base 12
cm e altura 10 cm. Determine seu perímetro e área.
04. Em um trapézio temos o
seguinte: base maior 20 cm; base menor 10 cm e altura 5 cm. Encontre sua área.
05. Em losango a diagonal
maior mede 15 cm e a diagonal menor 8 cm. Encontre sua área.
06. Em um círculo, seu raio
mede 4 cm e sabendo que o π = 3. Determine sua área.
07. Faça em seu caderno um
resumo das áreas que foram apresentadas, desenhando suas figuras e mostrando
suas fórmulas.
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