MATEMÁTICA – 11ª SEMANA
ANO/SEGMENTO: 8º Ano/ Anos Finais
COMPONENTE CURRICULAR: Matemática
UNIDADE TEMÁTICA: Álgebra.
OBJETOS DE CONHECIMENTO:
Potenciação e radiciação.
Variação de grandezas: diretamente proporcionais,
inversamente proporcionais ou não proporcionais.
HABILIDADES:
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação
entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de
expoente fracionário.
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas
grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais,
expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la
no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias
variadas.
DESENVOLVIMENTO DO PLANO:
Potenciação
e radiciação:
Para iniciar o assunto vamos revisar a relação entre potência
e raiz.
Nos estudos de potências, estudamos
inúmeras propriedades acerca dos expoentes. Estudaremos os expoentes
fracionários, a fim de compreender o verdadeiro significado destes expoentes,
quando escritos em forma de frações.
Façamos nosso estudo partindo de um
número qualquer:
Podemos escrever este número em forma de
uma raiz quadrada (pois o denominador da fração é 2).
Com isso você deve estar se perguntando,
e o número 1 que está no numerador? Ele está presente no expoente do número
(a), entretanto não existe a necessidade de escrevê-lo. Tendo um número em uma
raiz, podemos realizar o processo inverso também, escrevendo-o como um número
com potência fracionária.
Note que quando escrevemos um número com
potência fracionária, teremos a seguinte propriedade:
O numerador da potência corresponde ao
expoente do número que está na base.
O denominador da potência corresponde ao
grau da raiz. No nosso caso é uma raiz de grau 3 (raiz cúbica).
Fazer essa transformação de um número em
uma raiz para um número com potência fracionária nos auxilia quando queremos
multiplicar números de mesma base, porém em raízes de graus diferentes.
Vejamos o seguinte exemplo:
Faremos a transformação de cada uma
dessas radiciações para números com potência fracionária e depois disso efetuaremos
a multiplicação desses números.
Agora podemos realizar a multiplicação
dos números que possuem mesma base:
Se quisermos escrever este número em
forma de radiciação, teremos:
Podemos simplificar números elevados ao
quadrado que estão dentro de uma raiz quadrada, pois o numerador e denominador
são iguais. Vejamos alguns exemplos:
Por fim, façamos a generalização da
transformação de um expoente fracionário para uma radiciação e vice-versa.
Vejamos alguns exemplos:
Agora que viram como funciona a relação entre potência e
raiz, tentem resolver os exercícios abaixo:
04.
Resolução do Aluno:
Variação
de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não
proporcionais.
O que são
grandezas direta e inversamente proporcionais?
Grandeza é o que pode ser medido.
A grandeza não é o objeto que pode
ser medido, mas a medida que é possível ser observada nele, como: distância, peso, velocidade etc. As grandezas também
podem ser verificadas em razões, como é o caso da velocidade, que é uma grandeza resultante
da divisão entre distância e tempo, os quais, por sua vez, são outras duas
grandezas.
O que é proporcionalidade
entre grandezas?
A razão entre duas grandezas é algo comum, que pode
ser feito para avaliá-las e para obter outras grandezas e propriedades como
resultado. Quando existe uma igualdade entre duas razões distintas, obtidas
pela divisão entre duas grandezas em momentos distintos, ela é chamada de proporção, e as grandezas, nesse caso,
são ditas proporcionais. Essa é a forma usada para os cálculos que envolvem regra de três, por exemplo.
Digamos que um automóvel se locomova
a 50 km/h e, em determinado período de tempo, percorra 100 km. Se esse
automóvel estivesse a 100 km/h, dentro desse mesmo intervalo de tempo, o espaço
percorrido por ele seria de 200 km.
A razão entre velocidade e espaço percorrido desse
automóvel pode ser avaliada em dois momentos distintos e possui resultados
iguais: 0,5.
50 = 100 = 0,5
100
200
Isso significa que as grandezas são proporcionais, isto é, a variação de uma das
grandezas faz com que a outra também sofra variação na mesma taxa que a
primeira. Dessa forma, ao dobrarmos a velocidade do automóvel, dobramos também
o espaço percorrido por ele em um mesmo intervalo de tempo.
Grandezas diretamente
proporcionais
Pelo fato de duas grandezas serem proporcionais, quando os valores de uma são
alterados, os valores da outra também são alterados, por consequência, na
mesma proporção que a primeira. Dizemos
que as grandezas A e B são diretamente proporcionais quando, aumentando a medida da grandeza A, a medida da grandeza B
aumenta, em consequência disso, na mesma proporção.
Se duas grandezas forem diretamente proporcionais, diminuir a medida da grandeza
A fará com que a medida da grandeza B também diminua na mesma proporção, por isso, a palavra diretamente é usada para representar
esse tipo de proporcionalidade entre grandezas.
Na situação apresentada
anteriormente, o automóvel dobrou a velocidade, e isso fez o espaço percorrido
dobrar. A consequência do aumento da velocidade foi um aumento no espaço
percorrido, na mesma proporção da velocidade. Por esse motivo, as grandezas velocidade e espaço percorrido são diretamente proporcionais na situação avaliada.
Grandezas inversamente
proporcionais
Duas grandezas que são inversamente proporcionais ainda variam uma em consequência
da outra e na mesma proporção, entretanto, o aumento da medida relativa à
primeira faz com que a medida relativa à segunda diminua. Se diminuirmos a
medida relativa à primeira grandeza, isso fará com que a medida relativa à segunda aumente. É por
isso que essa proporcionalidade é chamada de inversa.
Exemplo: em uma fábrica de sapatos que
possui 25 funcionários, é produzida uma determinada quantidade de sapatos em 10
horas. Se o número de funcionários for 50, essa mesma quantidade de sapatos será
produzida em 5 horas.
É evidente que o dobro de
funcionários fará o trabalho na metade do tempo. Isso acontece porque as grandezas horas trabalhadas e quantidade de funcionários são inversamente proporcionais.
Regra de três
A regra de três é a ferramenta usada para
descobrir uma das medidas de uma proporção. Ela também é válida para quando essa proporção é
obtida por meio de grandezas.
Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, monte a proporção entre as medidas
observadas e utilize a propriedade fundamental das proporções para encontrar a
medida procurada.
Exemplo: Um automóvel a 50 km/h
percorre 100 km. Se esse automóvel estivesse a 75 km/h, teria percorrido
quantos quilômetros no mesmo período de tempo?
50 = 75
100
x
50x = 75·100
50x = 7500
x = 7500
50
x = 150 km.
Além disso, quando as grandezas forem inversamente proporcionais, será necessário inverter uma
das frações da proporção formada por elas antes de aplicar a propriedade fundamental
das proporções.
Exemplo: Um automóvel está a uma
velocidade de 50 km/h e gasta duas horas para chegar a seu destino. Esse mesmo
automóvel gastaria quantas horas se estivesse a 75 km/h?
Montando a proporção, teremos:
50 = 2
75
x
Aumentando a velocidade, o
tempo gasto no percurso deve diminuir, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma das frações,
teremos:
50 = x
75
2
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos:
75x = 50·2
75x = 100
x = 100
75
x = 1,33
Isso significa que o tempo gasto será de uma hora e 20 minutos.
(1,33 h está na base decimal, por isso precisa ser convertido para horas, o que
também pode ser feito por regra de três).
Atividade Proposta:
01.
Faça a leitura do texto sobre grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais e faça um resumo do que você entendeu sobre o
assunto, ilustrando com exemplos do próprio texto ou retirados da internet. Use
sua criatividade!
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