MATEMÁTICA - PROF: STÊNIO AGUIAR - 16ª SEMANA - 7º ANOS - TODOS

 MATEMÁTICA – SEMANA (21/09 A 25/09)

ANO/SEGMENTO: 7º Ano/ Anos Finais

COMPONENTE CURRICULAR: Matemática

UNIDADE TEMÁTICA: Álgebra

OBJETOS DE CONHECIMENTO:

I)                    Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais;

 

II)                   Equações polinomiais do 1º grau

 

HABILIDADES:

I)          (EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

 

II)      (EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

 

DESENVOLVIMENTO DO PLANO:

Vídeos do Youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=80xmkmFg0a8&list=PLI6SvWU4m9hssICNq3lD16-AxW1qZufWr&index=4&t=0s

https://www.youtube.com/watch?v=xQxIJp5F6ow

https://www.youtube.com/watch?v=Ylvb03POwGE

https://www.youtube.com/watch?v=JdcpgTtotyQ

https://www.youtube.com/watch?v=a1sI36SyxOE

 

Equações polinomiais

 

As equações polinomiais são comuns na matemática para encontrarmos valores desconhecidos.

É polinomial qualquer equação que tenha um polinômio igual a zero. O grau desse tipo de equação depende do maior expoente dos termos do polinômio.

Essas soluções são conhecidas como raízes da equação, quanto maior o grau do polinômio, mais difícil será encontrarmos essas raízes.

Em uma equação polinomial, é importante encontrarmos o grau dela para termos uma estratégia de resolução, e esse grau é definido pelo maior expoente dado à incógnita, assim como é feito nos polinômios.

 

Exemplos:

 

3x + 1 = 0 → equação polinomial do 1º grau

4x² + 3x – 3 = 0 → equação polinomial do 2º grau

-3y³ + 2y + 1 = 0 → equação polinomial do 3º grau

5a⁸ + 2a⁶ + a² + 2^a = 0 → equação polinomial do 8º grau

 

As equações mais comuns em problemas, tanto na matemática quanto na física e química, são as de primeiro e segundo grau.

 

Como resolver uma equação polinomial?

 

O método de resolução de uma equação polinomial está diretamente ligado ao seu tipo. Existem dois tipos de equação polinomial mais comuns em exercícios e problemas, tanto na matemática quanto nas áreas afins, são eles:

 

·         Equação polinomial do primeiro grau

·         Equação polinomial do segundo grau

 

Equação polinomial do primeiro grau:

 

Conhecendo a equação do tipo ax + b = 0, em que a e b são números reais, para resolvê-la, sempre buscaremos isolar a incógnita x, realizando as operações inversas nos dois lados da igualdade.

 

Exemplo:

 

Resolva a equação 3x + 6 = 0.

Buscar o valor de x que faz com essa equação dê zero, muitas vezes, pode ser feito de forma intuitiva, mas quando a equação se torna mais complexa, é essencial dominar o método de resolução.

 

1º passo: subtrair 6 dos dois lados, o que é conhecido também como passar o 6 para o outro lado da igualdade com o sinal trocado.

 

3x + 6 = 0

3x + 6 – 6 = 0 - 6 

3x = -6

2º passo: dividir por 3 nos dois lados, na prática, passar o 3 para o outro lado dividindo:

Encontrar x = -2 significa que -2 é a raiz da equação, ou seja, o valor que, quando substituído no lugar do x, faz com que essa equação seja verdadeira.

 

Outras características da equação do 1º grau:

Equação do Primeiro Grau:

As equações de primeiro grau são sentenças matemáticas que estabelecem relações de igualdade entre termos conhecidos e desconhecidos, representadas sob a forma:

 

ax+b = 0

 

Donde a e b são números reais, sendo a um valor diferente de zero (a ≠ 0) e x representa o valor desconhecido.

O valor desconhecido é chamado de incógnita que significa "termo a determinar". As equações do 1º grau podem apresentar uma ou mais incógnitas.

 

As incógnitas são expressas por uma letra qualquer, sendo que as mais utilizadas são x, y, z. Nas equações do primeiro grau, o expoente das incógnitas é sempre igual a 1.

As igualdades 2.x = 4, 9x + 3 y = 2 e 5 = 20a + b são exemplos de equações do 1º grau.

Já as equações 3x²+5x-3 =0, x³+5y= 9 não são deste tipo.

O lado esquerdo de uma igualdade é chamado de 1º membro da equação e o lado direito é chamado de 2º membro.

Como resolver uma equação de primeiro grau?

 

O objetivo de resolver uma equação de primeiro grau é descobrir o valor desconhecido, ou seja, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira.

Para isso, deve-se isolar os elementos desconhecidos em um dos lados do sinal de igual e os valores constantes do outro lado.

Contudo, é importante observar que a mudança de posição desses elementos deve ser feita de forma que a igualdade continue sendo verdadeira.

Quando um termo da equação mudar de lado do sinal de igual, devemos inverter a operação. Assim, se estiver multiplicando, passará dividindo, se tiver somando, passará subtraindo e vice-versa.

Exemplo:

 

Qual o valor da incógnita x que torna a igualdade 8x - 3 = 5 verdadeira?

Solução:

 

Para resolver a equação, devemos isolar o x. Para isso, vamos primeiro passar o 3 para o outro lado do sinal de igual. Como ele está subtraindo, passará somando. Assim:

8x = 5 + 3

8x = 8

 

Agora podemos passar o 8, que está multiplicando o x, para o outro lado dividindo:

x = 8/8
x = 1

 

Outra regra básica para o desenvolvimento das equações de primeiro grau determina o seguinte:

Se a parte da variável ou a incógnita da equação for negativa, devemos multiplicar todos os membros da equação por –1. Por exemplo:

– 9x = – 90 . (-1)
9x = 90
x = 10

 

Algumas conclusões importantes:

·         Toda equação do 1º grau tem esse formato: a.x + b = 0, sendo a, b números reais e (a≠0);

·         Toda equação do 1º grau, apresenta dois membros, sendo o primeiro membro os valores antes da igualdade e o segundo membro os valores depois da igualdade; Ex: 2x + 3 = 5 – x, então o 2x + 3 é do primeiro membro e o 5 – x é do segundo membro;

·         Para saber o grau da equação basta olhar o número que o X está elevado. Ex: x² + 1 = 0, podemos dizer que essa equação é do segundo grau pois o x está elevado a 2.

·         Como estamos trabalhando com equação do 1º grau então o X vai estar elevado a 1, exemplo: X + 3 = 7. Apesar de não vermos o número que está elevado no X, sabemos que existe e é o número 1.

 

Exercícios de Equações do 1º Grau, resolvidos:

1) Resolva em R as equações a seguir:

a) 3 + x = 0

b) 23x + 2 = 2

c) 12 – 7 + 4x = 25

d) 5x – 3x = 30

e) 4x + 10 = 45 – 3x

Resolução:

a) 3 + x = 0 ⇒ x = -3

b) 23x + 2 = 2 ⇒ 23x = 2 – 2 ⇒ 23x = 0 ⇒ x = 0/23 ⇒ x = 0

c) 12 – 7 + 4x = 25 ⇒ 5 + 4x = 25 ⇒ 4x = 25 – 5 ⇒ 4x = 20 ⇒ x = 20/4 ⇒ x = 5

d) 5x – 3x = 30 ⇒ 2x = 30 ⇒ x = 30/2 ⇒ x = 15

e) 4x + 10 = 45 – 3x ⇒ 4x + 3x = 45 – 10 ⇒ 7x = 35 ⇒ x = 35/7 ⇒ x = 5

 

2) Seja a equação do 1º grau 2x + 4 = 2 – 3x, responda:

a) Qual o primeiro membro desta equação?

b) Qual o segundo membro?

c) Qual o valor de x que torna a equação verdadeira?

Resolução:

a) 2x + 4   

b) 2 – 3x

c) 2x + 4 = 2 – 3x ⇒ 2x + 3x = 2 – 4 ⇒ 5x = -2 ⇒ x = -2/5

3) Encontre o valor da incógnita que satisfaz a equação: 5.(9 + y) = 20 – 3 + 6y

Nessa equação, o primeiro membro precisa usar uma das propriedades da multiplicação que é a distributiva.

5.(9 + y) = 20 – 3 + 6y ⇒ 45 + 5y = 17 + 6y ⇒ 45 – 17 = 6y – 5y ⇒ 28 = y

⇒ y = 28

4) Seja a equações 2x/(4 – 3x) = 2, encontre o valor de x que torna a equação verdadeira.

2x/(4 – 3x) = 2 ⇒ 2x = 2(4 – 3x) ⇒ 2x = 8 – 6x ⇒ 8x = 8 ⇒ x = 8/8 ⇒ x = 1

Exercícios Propostos: Aluno resolve

01. Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20

d) x+30 = 40?

e) 30-20+2x=10?

f) 3x-10+13=-2x+28?

g) -5x+45-89=-90+41?

h)10x-20=40+50?

i) 20-80+2x=10?

j)19+2x-13=10-20?