MATEMÁTICA – SEMANA (14/09 A 18/09)
ANO/SEGMENTO: 7º Ano/ Anos Finais
COMPONENTE CURRICULAR: Matemática
UNIDADES TEMÁTICAS: Álgebra.
OBJETOS DE CONHECIMENTO:
I)
Problemas envolvendo grandezas diretamente
proporcionais e grandezas inversamente proporcionais;
II)
Equações polinomiais do 1º grau.
HABILIDADES:
I) (EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que
envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa
entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação
entre elas.
II) (EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que
possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à
forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
DESENVOLVIMENTO DO PLANO:
Antes de iniciarmos a aula
sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais vamos ver um assunto
chamado de regra de três. Esse assunto sempre estará relacionado com os
problemas das grandezas direta e inversamente proporcionais.
Regra de
Três Simples e Composta:
A regra de
três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que envolvem
duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Nesse
sentido, na regra de três simples, é necessário que três
valores sejam apresentados, para que assim, descubra o quarto valor.
Em outras palavras, a regra de três permite descobrir um valor não
identificado, por meio de outros três.
A regra de três composta,
por sua vez, permite descobrir um valor a partir de três ou mais valores
conhecidos.
Grandezas
Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma implica no aumento da outra na mesma proporção.
Grandezas
Inversamente Proporcionais
Duas
grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de
uma implica na redução da outra.
Exercícios Resolvidos Regra de
Três Simples:
Exercício 1 (O professor resolve)
Para fazer o bolo de aniversário utilizamos 300 gramas de
chocolate. No entanto, faremos 5 bolos. Qual a quantidade de chocolate que
necessitaremos?
Inicialmente, é importante agrupar as grandezas da mesma espécie
em duas colunas, a saber:
|
1 bolo |
300
g |
|
5
bolos |
x |
Nesse caso, x é a nossa incógnita, ou
seja, o quarto valor a ser descoberto. Feito isso, os valores serão
multiplicados de cima para baixo no sentido contrário:
1x = 300 . 5
1x = 1500 g
Logo, para
fazer os 5 bolos, precisaremos de 1500 g de chocolate ou 1,5 kg.
Note que se
trata de um problema com grandezas diretamente proporcionais, ou seja,
fazer mais quatro bolos, ao invés de um, aumentará proporcionalmente a
quantidade de chocolate acrescentado nas receitas.
Exercício 2 (O professor resolve)
Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 horas numa velocidade de
80 km/h. Assim, quanto tempo seria necessário para realizar o mesmo percurso
numa velocidade de 120 km/h?
Da mesma maneira, agrupa-se os dados correspondentes em duas
colunas:
|
80 km/h |
3
horas |
|
120
km/h |
x |
Observe que ao aumentar a velocidade, o tempo do percurso
diminuirá e, portanto, trata-se de grandezas inversamente proporcionais.
Em outras
palavras, o aumento de uma grandeza, implicará na diminuição da outra. Diante
disso, invertemos os termos da coluna para realizar a equação:
|
120 km/h |
3 horas |
|
80 km/h |
x |
120x = 240
x = 240/120
x = 2 horas
Logo, para fazer o mesmo trajeto aumentando a velocidade o tempo
estimado será de 2 horas.
Exercício Resolvido Regra de Três
Composta:
Exercício 1 (O professor resolve)
Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame
final, o estudante precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua
meta.
Porém, a data do exame foi antecipada e, portanto, ao invés de 7 dias
para estudar, o estudante terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de
estudar por dia, para se preparar para o exame?
Primeiramente, agruparemos numa tabela, os valores fornecidos acima:
|
Livros |
Horas |
Dias |
|
8 |
6 |
7 |
|
8 |
x |
4 |
Observe que
ao diminuir o número de dias, será necessário aumentar o número de horas de
estudo para a leitura dos 8 livros.
Portanto, trata-se de grandezas inversamente
proporcionais e, por isso, inverte-se o valor dos dias para
realizar a equação:
|
Livros |
Horas |
Dias |
|
8 |
6 |
4 |
|
8 |
x |
7 |
6/x = 8/8 . 4/7
6/x = 32/56 = 4/7
6/x = 4/7
4 x = 42
x = 42/4
x = 10,5 horas
Logo, o estudante precisará estudar 10,5 horas por
dia, durante os 4 dias, a fim de realizar a leitura dos 8 livros indicados pela
professora.
Problemas
envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais:
Observem os vídeos a seguir:
https://www.youtube.com/watch?v=ZiHqfMn2nQY
https://www.youtube.com/watch?v=3cn7ADpfCok
https://www.youtube.com/watch?v=GbMoUkndanU
https://www.youtube.com/watch?v=GsgOLThZU2Q
https://www.youtube.com/watch?v=ozPo5fg1x7U
Observem esses exemplos resolvidos:
01.Qual é a velocidade de um
automóvel que gasta duas horas em um percurso, sabendo que gastaria 6 horas
nesse mesmo percurso se estivesse a 30 km/h?
a) 90 km/h
b) 60 km/h
c) 30 km/h
d) 20 km/h
e) 10 km/h
Resolução:
Para resolver esse problema, podemos usar a regra de
três. Para tanto, é necessário construir uma proporção entre a velocidade do
automóvel e o tempo gasto por ele no percurso. Essa proporção é:
2 = x
6 30
Observe que, aumentando a velocidade, o tempo gasto
no percurso diminui, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais.
Para encontrar a velocidade do automóvel, precisamos inverter uma das razões da
proporção acima.
2 = 30
6 x
Aplicando a propriedade fundamental das proporções,
teremos:
2x = 6·30
x = 180
2
x = 90 km/h
02.Uma fábrica mantém
jornadas de trabalho de 6 horas para seus funcionários e, com essa jornada, a
produção mensal é de 160 mil produtos. Quantas horas diárias serão necessárias
para elevar a produção para 240 mil produtos?
a) 2 horas
b) 4 horas
c) 5 horas
d) 9 horas
e) 12 horas
Resolução:
As grandezas são diretamente proporcionais, por isso,
não é necessário inverter as razões para aplicar a propriedade fundamental das
proporções. A proporção é:
160000 = 6
240000 x
160000x = 6·240000
160000x = 1440000
x = 1440000
160000
x = 9
Serão necessárias 9 horas.
03.Enem-2012 Nos shopping centers,
costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam
créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos
jogos.
Dependendo da pontuação da criança
no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas
lojas dos parques.
Suponha que o período de uso de um brinquedo em
certo shopping custa
R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 9 200 tíquetes.
Para uma criança que recebe
20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com
créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é
a) 153.
b) 460.
c) 1 218.
d) 1 380.
e) 3 066.
Resolução:
Utilize regra de três para descobrir quantos períodos
de tempo a criança precisa jogar para conseguir 9200 tíquetes. Para tanto,
lembre-se de que um período de tempo “está para” 20 tíquetes, assim como x
períodos de tempo “estão para” 9200 tíquetes. Note que as grandezas são
diretamente proporcionais, portanto:
20 = 1
9200 x
20x = 9200
x = 9200
20
x = 460
Sabendo que serão necessários 460 períodos de tempo e
que cada um deles custa R$ 3,00, teremos:
460·3 = 1380
Serão necessários R$ 1380,00 para conseguir a
bicicleta.
04.Três caminhões transportam 250 m3 de areia. Quantos caminhões iguais a esse
serão necessários para transportar 7000 m3 de areia?
a) 30 caminhões.
b) 44 caminhões.
c) 60 caminhões.
d) 74 caminhões.
e) 84 caminhões.
Resolução:
O número de caminhões e a quantidade de areia possível de ser
carregada são grandezas diretamente proporcionais. Portanto:
250 = 3
7000 x
250x = 3·7000
250x = 21000
x = 21000
250
x = 84
Serão necessários 84 caminhões.
05. Uma barra de metal com 1,5 metros de
altura foi fincada no solo, e a sombra que pôde ser observada, produzida por
essa barra, possui 4,5 metros. Qual é a altura do poste ao lado da barra de
metal, sabendo que a sombra desse poste, nesse mesmo horário, mede 30 metros?
a) 10 metros
b) 20 metros
c) 30 metros
d) 45 metros
e) 15 metros
Resolução:
Quanto maior a altura da barra, maior será sua sobra,
portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. Assim, teremos:
1,5 = 4,5
x 30
4,5x = 1,5·30
4,5x = 45
x = 45
4,5
x = 10
O poste tem 10 metros de altura.
Atenção: Serão colocadas 10
questões sobre os assuntos abordados nesse material da qual se devem copiar os
enunciados e os cálculos. Antes de resolver os exercícios deem uma olhada nas
questões resolvidas acima.
Exercícios Propostos: (Aluno
Resolve)
Questão 1:
Classifique as grandezas relacionadas a seguir em diretamente ou
inversamente proporcional.
a) Consumo de combustível e quilômetros percorridos por um
veículo.
b) Quantidade de tijolos e área de uma parede.
c) Desconto dado em um produto e o valor final pago.
d) Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher uma piscina.
Questão 2:
Pedro tem uma piscina em sua casa que mede 6 m de comprimento e
comporta 30 000 litros de água. Seu
irmão Antônio decide também construir uma piscina com a mesma largura e
profundidade, mas com 8 m de comprimento. Quantos litros de água cabem na
piscina de Antônio?
a) 10 000 L
b) 20 000 L
c) 30 000 L
d) 40 000 L
Questão 3:
Em uma lanchonete, seu Alcides prepara suco de morango todos os
dias. Em 10 minutos e utilizando 4 liquidificadores, a lanchonete consegue
preparar os sucos que os clientes pedem. Para diminuir o tempo de preparo, seu
Alcides dobrou o número de liquidificadores. Quanto tempo levou para que os
sucos ficassem prontos com os 8 liquidificadores funcionando?
a) 2 min
b) 3 min
c) 4 min
d) 5 min
Questão
4:
Para fazer 6
bengalas de pão, o padeiro utiliza 1.800 gramas de farinha. Quanto ele gasta
para fazer 5 bengalas?
Questão
5:
Analise cada afirmação abaixo
e diga se é diretamente ou inversamente proporcional:
a) A idade de uma pessoa e a
massa de seu corpo:
b) A distância em que um
carro a uma velocidade constante e o tempo de percurso:
c) A quantidade de pessoas
para executar uma tarefa e o tempo para executá-la:
Questão
6:
Um trem com vagões transporta
720 pessoas. Para transportar 1.260 pessoas, quantos vagões seriam necessários?
Questão
7:
Uma doceira faz 300 docinhos
em 90 minutos. Se ela dispuser de apenas 27 minutos, quantos docinhos
conseguirá fazer?
Questão
8:
Um barco pesqueiro tem uma
produção de 15 toneladas por viagem. Para uma produção de 90 toneladas, qual é
o número necessário de viagens?
Questão
9:
d) A 60km/h faço o percurso
entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual o tempo estimado para
percorrer este trajeto?
Questão
10:
Resolva os problemas
matemáticos usando a regra de três simples:
a) Com 10 kg de trigo podemos
fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para
fabricar 28 kg de farinha?
b) Em um banco, contatou-se
que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo
que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
c) Um automóvel gasta 24
litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará
para percorrer 120 km ?
d) Uma torneira despeja 30
litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um
reservatório de 4000 litros de volume?
e) Um relógio atrasa 3
minutos a cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
f) Num mapa, a distância
Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos
centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de
1200 km ?
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