MATEMÁTICA - PROF: STÊNIO AGUIAR - 14ª SEMANA - 7º ANOS - TODOS

 MATEMÁTICA – SEMANA (08/09 A 11/09)

ANO/SEGMENTO: 7º Ano/ Anos Finais

COMPONENTE CURRICULAR: Matemática

UNIDADE TEMÁTICA: Números.

OBJETOS DE CONHECIMENTO: Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

HABILIDADES:

(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

DESENVOLVIMENTO DO PLANO:

 

O QUE É FRAÇÃO? TODOS OS TIPOS: PRÓPRIA, IMPRÓPRIA, APARENTE E MISTA

O que é fração?

Fração é, basicamente, uma representação das partes iguais de um todo. Isso quer dizer que a fração determina a divisão de partes iguais sendo que cada uma integra um número inteiro.

Para exemplificar de forma mais didática, pense em uma pizza dividida em 6 partes iguais. Cada fatia da pizza corresponde a 1/6 (um sexto), ou seja, se uma pessoa come 3 fatias de pizza, ela estará comendo 3/6 (três sextos) da pizza.

Nas frações, o número que fica embaixo – ou seja, aquele que representa o total – é chamado de denominador. Já o número que fica em cima – que representa a porcentagem do todo – é chamado de numerador.

Quais os tipos de frações?

Agora que você já sabe o que é fração, deve entender que há 4 tipos principais de frações. São elas:

1.       Fração própria

2.       Fração imprópria

3.       Fração aparente 

4.       Fração mista

Veja quais as características de cada uma delas abaixo. 

1. Fração própria

Fração própria é toda aquela em que o numerador é menor que o denominador. Isso significa que representa um número menor que um inteiro. Como por exemplo: 2/8.

2. Fração imprópria

São frações em que o numerador é maior que o denominador. Isso significa que  representa um número maior que um inteiro. Como por exemplo: 5/3.

3. Fração aparente

São frações em que o numerador é múltiplo do denominador, ou seja, representa um número inteiro escrito em forma de fração. Como por exemplo: 9/3 = 3.

4.Fração mista

São frações constituídas por uma parte inteira e uma fracionária, representada por números mistos. Como por exemplo: 1 2/5 (um inteiro e dois quintos).

Tipos de operações com fração

O mais importante sobre as frações é saber como utilizá-las para fazer operações matemáticas básicas, como adição, subtração, divisão e multiplicação. Confira a seguir como fazer cada uma dessas operações:

 

Soma de frações

Para fazer uma operação de adição entre frações, é necessário identificar se os denominadores das duas frações são iguais. Se forem, basta repetir o denominador e somar os numeradores.

Se os denominadores forem diferentes, antes de somar deve-se transformar as frações em frações equivalentes de mesmo denominador. Para isso, calculamos o MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre os denominadores das frações a serem somadas. 

O valor do MMC passa a ser o novo denominador das frações. Após isso, deve-se dividir o MMC encontrado pelo denominador da fração e o resultado dessa operação é multiplicado pelo numerador de cada fração e esse valor passará a ser o novo numerador.

Subtração de frações

A subtração de frações funciona da mesma forma que a adição, ou seja, é necessário verificar se os denominadores são iguais ou não. Se o denominador for igual, basta repetir o denominador e subtrair os numeradores.

Mas se os denominadores forem diferentes, é necessário fazer o mesmo procedimento, procurando o MMC para obter frações equivalentes de mesmo denominador. Após esse procedimento podemos fazer a subtração normalmente.

Divisão de frações

A divisão de frações é feita multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda, ou seja, inverte-se o numerador e o denominador da segunda fração.

 

Multiplicação de frações

A multiplicação de frações é feita multiplicando os numeradores entre si, bem como seus denominadores.

Frações equivalentes

As frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade. As frações 1/2, 2/4 e 4/8 são equivalentes, por exemplo. Para encontrar frações equivalentes, é necessário multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Simplificação de frações

A simplificação de frações consiste em reduzir o numerador e o denominador por meio da divisão pelo máximo divisor comum (MDC) aos dois números. Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. Quando isso acontece, ela é chamada de fração irredutível.

Comparação de Fração

As frações possuem o objetivo de representar partes de um inteiro através de situações geométricas ou numéricas. Podemos comparar frações utilizando a representação numérica através de algumas técnicas e propriedades. Comparar significa analisar qual representa a maior ou menor quantidade ou se elas são iguais.

1º situação:

Quando os denominadores são iguais, basta compararmos somente o valor dos numeradores. 

Observe a comparação entre as frações  .

Note que os denominadores são iguais, dessa forma, vamos comparar os numeradores:

4 > 2 (quatro é maior que dois), então  

Veja outra comparação envolvendo as frações 

Os denominadores também são iguais, assim basta identificarmos qual dos numeradores é maior. Percebemos que 15 é maior que 7 (15 > 7), portanto 

2ª situação

Quando os denominadores são diferentes, devemos realizar operações no intuito dos denominadores se tornarem iguais. Quando eles se tornam iguais aplicamos as definições da 1ª situação. O processo que irá transformar os denominadores em valores iguais é chamado de redução e consiste em descobrir um número pelo qual iremos multiplicar os membros de uma fração para que os denominadores assumam o mesmo valor. Observe:

As frações dadas possuem denominador 6 e 3, respectivamente. Vamos multiplicar os membros da 1ª equação por 3 e multiplicar os membros da 2ª equação por 6.

 

Veja:

Note que   , portanto   .

Observe que multiplicamos os membros da 1ª equação pelo denominador da 2ª equação e os membros da 2ª equação pelo denominador da 1ª equação.

Veja mais um exemplo:

Vamos comparar as frações 

Vamos aplicar as reduções nas frações utilizando a regra prática já enunciada.

Observe que  dessa forma temos que 

Razão entre grandezas diferentes:

 

Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, como distância, tempo, massa etc. Uma razão é uma divisão ou o resultado de uma. A razão entre grandezas diferentes, portanto, é uma divisão em que o numerador representa uma grandeza e o denominador representa outra grandeza diferente da primeira. Com os resultados desse tipo de cálculo, podemos observar alguns fenômenos, como quantos quilômetros podem ser percorridos com apenas um litro de combustível.

 

Velocidade média:

 

A velocidade média é uma razão entre grandezas diferentes e é calculada pela divisão entre a distância percorrida (S) em quilômetros pelo tempo gasto no percurso (t) em horas.

V = S/t

A unidade de medida usada para velocidade média é o km/h (quilômetros por hora) e pode ser interpretada da seguinte maneira: representa a quantidade de quilômetros que o objeto foi capaz de percorrer durante uma hora.

Muitas vezes, em vez de quilômetros, são usados metros. A unidade de medida de tempo para metros é o segundo.

1º exemplo: Um veículo está em movimento e dirige-se aos limites de uma cidade a 200 quilômetros de distância do ponto de partida. Sabendo que foram gastas quatro horas no percurso, calcule a velocidade média desse veículo.

Para esse cálculo, basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto. Observe:

V = 200 
        4

                                                                             V = 50 km/h

Esse veículo percorre 50 quilômetros a cada hora de deslocamento.

 

2º exemplo: Um veículo está a 80 km/h e faz uma viagem de 560 quilômetros de distância. Quantas horas ele gastará para chegar ao seu destino?

Utilizando a razão velocidade média e substituindo a velocidade e a distância percorrida, teremos:

V = S
      t

80 = 560
        t

80t = 560

t = 560
     80

t = 7 horas.

Consumo médio:

 

A razão consumo médio (C) é resultado da divisão do espaço percorrido (S) pela quantidade de combustível (v) gasta no percurso.

C = S
       v

A unidade de medida para o consumo médio é km/l (quilômetros por litro) e representa a quantidade de quilômetros que podem ser percorridos com um litro de combustível.

 

Exemplo: Uma família quer descobrir quanto gastará para viajar de sua cidade até a praia. Sabendo que a distância é de 530 km, que o carro que os levará tem um consumo médio de 15 km/l e que o litro da gasolina custa aproximadamente R$ 3,00, calcule quanto será gasto apenas com gasolina.

 

Para resolver esse problema, basta substituir os valores dados na razão consumo médio e, depois, multiplicar o resultado, que será a quantidade de litros gastos na viagem pelo valor do litro de combustível. Observe:

C = S
      v

15 = 530
       v

15v = 530

v = 530
     15

v = 35,3 litros.

35,3·3,00 = 106,00

Serão gastos R$ 106,00 de combustível.

Densidade demográfica:

 

É a razão entre o número de habitantes de uma região (hab) e a área (A), em quilômetros quadrados, dessa região.

D = hab
      A

Essa razão é de extrema importância por oferecer um valor proporcional da quantidade de habitantes das cidades. Digamos, por exemplo, que a cidade A possui 10000 moradores em uma área total de 1000 km² e que a cidade B possui os mesmos 10000 moradores em um espaço de 100 km². Qual das duas cidades possui a situação mais crítica?

Observe que a pergunta não especificou o que é situação crítica, mas é evidente que a cidade que possui mais moradores dentro de um espaço menor precisa de maior atenção. Por isso, pode ser considerada a que está em situação crítica. Sendo assim, precisaremos encontrar apenas aquela que possui maior densidade demográfica.

D_A = hab
        A

D_A = 10000
       1000

D_A = 10 hab/km²

D_B = 10000
        100

D_B = 100 hab/km²

Logo, a cidade B é a que possui situação mais crítica.

ATIVIDADES PROPOSTAS: ALUNO RESOLVE

Questão 1

Simplifique, se possível, as frações a seguir:

a) 2/8

b) 30/6

c) 20/8

d)102/200

e) 1/2

Questão 2

Se Maria gastou em compras 1/3 de 1/4 de R$ 300, quanto sobrou desse total?

a) 25

b) 30

c) 35

d) 40

e) 45

Questão 3

Encontre o resultado dos cálculos abaixo:

a)                             

b)                           

c)    

Questão 4

As árvores de um parque estão dispostas de tal maneira que se construíssemos uma linha entre a primeira árvore (A) de um trecho e a última árvore (B) conseguiríamos visualizar que elas estão situadas à mesma distância uma das outras.

De acordo com a imagem acima, que fração que representa a distância entre a primeira e a segunda árvore?

a) 1/6
b) 2/6
c) 1/5
d) 2/5

Questão 5

Observe a barra de chocolate a seguir e responda: quantos quadradinhos deve-se comer para consumir 5/6 da barra?

a) 15
b) 12
c) 14
d) 16

Questão 6

20 colegas de trabalho resolveram fazer uma aposta e premiar aqueles que mais acertassem os resultados dos jogos de um campeonato de futebol.

Sabendo que cada pessoa contribuiu com 30 reais e que os prêmios seriam distribuídos da seguinte forma:

·         1º primeiro colocado: 1/2 do valor arrecadado;

·         2º primeiro colocado: 1/3 do valor arrecadado;

·         3º primeiro colocado: recebe a quantia restante.

Quanto, respectivamente, cada participante premiado recebeu?

a) R$ 350; R$ 150; R$ 100
b) R$ 300; R$ 200; R$ 100
c) R$ 400; R$ 150; R$ 50
d) R$ 250; R$ 200; R$ 150

Questão 7

Em uma disputa entre carros de corrida um competidor estava a 2/7 de terminar a prova quando sofreu um acidente e precisou abandoná-la. Sabendo que a competição foi realizada com 56 voltas no autódromo, em que volta o competidor foi retirado da pista?

a) 16ª volta
b) 40ª volta
c) 32ª volta
d) 50ª volta

 

Questão 8

(ETEC/SP-2009) Tradicionalmente, os paulistas costumam comer pizza nos finais de semana. A família de João, composta por ele, sua esposa e seus filhos, comprou uma pizza tamanho gigante cortada em 20 pedaços iguais. Sabe-se que João comeu 3/12 e sua esposa comeu 2/5 e sobraram N pedaços para seus filhos. O valor de N é?

a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11

 

Questão 9

(Enem-2011) O pantanal é um dos mais valiosos patrimônios naturais do Brasil. É a maior área úmida continental do planeta - com aproximadamente 210 mil km², sendo 140 mil km² em território brasileiro, cobrindo parte dos estados de Mato Grosso e Mato Grosso do Sul. As chuvas fortes são comuns nessa região. O equilíbrio desse ecossistema depende, basicamente, do fluxo de entrada e saída de enchentes. As cheias chegam a cobrir até 2/3 da área pantaneira. Durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode chegar a um valor aproximado de:

a) 91,3 mil km²
b) 93,3 mil km²
c) 140 mil km²
d) 152,1 mil km²
e) 233,3 mil km²

 

Questão 10

Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias?

a) 6                        b) 7                     c)    8                     d) 9             e) 10