MATEMÁTICA – SEMANA (08/09 A 11/09)
ANO/SEGMENTO: 8º Ano/ Anos Finais
COMPONENTE CURRICULAR: Matemática
UNIDADE TEMÁTICA: Geometria
OBJETOS DE CONHECIMENTO:
I)
Congruência de triângulos e demonstrações de
propriedades de quadriláteros;
II)
Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°,
45° e 30° e polígonos regulares.
HABILIDADES:
(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio
da identificação da congruência de triângulos.
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou
softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45°
e 30° e polígonos regulares.
DESENVOLVIMENTO DO PLANO:
Propriedades do triângulo
equilátero:
Triângulos são polígonos que possuem três lados. Quando todos os lados
de um triângulo são congruentes, isto é, possuem a mesma
medida, esse triângulo é classificado como equilátero. Essa característica garante a existência de algumas propriedades que podem ser usadas para facilitar
cálculos quando o problema envolve esse tipo de triângulo ou para problemas
específicos da Geometria. Essas propriedades são as seguintes:
→ Todo triângulo
equilátero é também isósceles
Os triângulos isósceles são aqueles que possuem dois lados congruentes. Todo
triângulo que possui três lados congruentes (equilátero) necessariamente possui
dois lados congruentes. Assim, os triângulos equiláteros herdam as propriedades dos triângulos
isósceles.
→ Ângulos
de um triângulo equilátero são congruentes
Como todos os
lados de um triângulo equilátero são congruentes, os ângulos também são. Assim sendo, todos os ângulos de
um triângulo equilátero medem 60°. A recíproca também é verdadeira: se todos os
ângulos de um triângulo medem 60°, ele é equilátero, como mostra a figura a
seguir:
→ Todos os ângulos
externos de um triângulo equilátero medem 120°
Como o ângulo externo e
o interno são suplementares, isto é, a soma entre eles é igual a 180°,
qualquer ângulo externo mede 120°. Observe os ângulos externos de um triângulo
equilátero na imagem a seguir:
→ A
bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero é também mediana do
lado oposto a esse ângulo
Toda bissetriz divide o lado oposto em duas partes.
Nos triângulos equiláteros, esse
lado é dividido em partes iguais, pois a bissetriz divide o triângulo
equilátero em dois triângulos congruentes.
→ A
bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero é também a altura
relativa ao lado oposto a esse ângulo
Como
qualquer bissetriz de um triângulo equilátero divide-o em dois triângulos
congruentes, a única possibilidade para os ângulos do ponto de encontro da
bissetriz com a base é que sejam de 90°, pois eles são suplementares e
congruentes.
A figura a
seguir é um exemplo de uma das bissetrizes de um triângulo equilátero e
das medidas obtidas pelo corte feito por ela.
É possível
apenas dizer que a bissetriz de um triângulo equilátero
é também altura e mediana.
→ Seja o ponto P o encontro
entre as medianas de um triângulo equilátero, então, P é também baricentro,
ortocentro e incentro desse triângulo.
Isso acontece
por causa das duas últimas propriedades. Como mediana, altura e bissetriz (relativas a um mesmo lado) são o mesmo segmento de reta, então, P é ponto de encontro de bissetrizes,
medianas e alturas. Isso pode ser observado na figura a seguir:
Pontos Notáveis do Triângulo:
Os pontos notáveis de um triângulo são elementos
importantes na estrutura de formação e de caracterização dessa forma
geométrica. Imagine você que um casal teve filhos trigêmeos idênticos e o que
os diferencia é apenas a marca de nascença. Um deles tem sua marca na barriga,
o outro, na perna; e o terceiro, no braço. Apesar de parecer um detalhe simples
e pouco importante, a localização da marca de nascença é a única forma de
diferenciar os irmãos. Você diria que ela é importante? Ela é de suma
importância! As marcas de nascença podem representar uma forma particular de
ponto notável nos trigêmeos.
Além dos
elementos mais comuns trabalhados em um triângulo, temos outros, como a mediana, baricentro, bissetriz, incentro, ortocentro,
mediatriz e o circuncentro. Uma ideia inicial que precisamos
relembrar é o conceito de ponto médio. Dado um segmento de reta, o ponto médio é
aquele que divide o segmento exatamente ao meio, originando dois segmentos de
mesmo comprimento. No segmento de reta abaixo, o ponto M é o ponto médio da reta AB, e o segmento AM
tem o mesmo comprimento que o segmento MB.
A__________M__________B
Em um triângulo, encontre o ponto médio de um de seus lados.
Por exemplo, na figura abaixo, marcamos o ponto M1, que é o ponto
médio do lado AB. Feito isso, nós traçamos uma reta desse ponto M1 até o vértice oposto, no caso, o C. Essa reta
CM1, destacada em vermelho, é dita mediana relativa
ao vértice C ou ao lado AB. Seguindo o mesmo princípio, encontramos os pontos
médios dos outros lados do triângulo e traçamos a medida relativa a cada lado.
As três medianas encontram-se em um ponto, que é chamado de baricentro. Na
figura abaixo, ele foi identificado pelo ponto D.
Ao traçarmos as três medianas de um triângulo, encontramos o
baricentro, o ponto formado pelo encontro das medianas desse triângulo
Vamos agora traçar uma reta que divida ao meio um dos ângulos do triângulo, por exemplo, o vértice C. Essa reta deve interceptar o lado em frente ao ângulo, nesse caso, o lado AB, como podemos ver no primeiro triângulo da figura abaixo. A reta vermelha representa a bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice C. Novamente, realizando esse procedimento em relação aos outros lados, vamos encontrar três bissetrizes que se interceptam em um ponto chamado de incentro, que na figura abaixo está representado pelo ponto I.
Ao traçarmos as bissetrizes de um triângulo, encontramos o incentro, o ponto formado pelo encontro das bissetrizes desse triângulo
Podemos ainda marcar a altura referente a um dos lados do triângulo. Por exemplo, no primeiro triângulo da figura abaixo, saindo do vértice C, traçamos uma reta que intercepta o lado oposto, formando um ângulo reto (90°). Essa reta representa a altura relativa ao lado AB ou ao vértice C. Encontrando as alturas relativas a todos os lados, teremos um ponto formado pelo encontro dessas alturas, que é chamado de ortocentro. Em alguns casos, será necessário prolongar os segmentos de reta das alturas de tal forma que o ortocentro surgirá em um ponto externo ao triângulo.
Ao traçarmos as alturas referentes a cada lado
de um triângulo, encontramos o ortocentro, a intercessão desse triângulo
Por fim, podemos marcar as mediatrizes de
um triângulo da seguinte forma: selecionamos um dos lados, por exemplo, o lado
AB, encontramos seu ponto médio, ao qual identificamos pelo ponto M1, e traçamos uma reta perpendicular ao lado AB, esta
é a primeira mediatriz. Ao encontrarmos as três mediatrizes, veremos que elas se
interceptam em um ponto, no circuncentro, que, na figura, é
representado pelo ponto E no terceiro triângulo.
Ao traçarmos as três mediatrizes de um
triângulo, encontramos o circuncentro, o ponto formado pelo encontro das
mediatrizes desse triângulo
Congruência e
Semelhança de Triângulos:
Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.
2º LLL (lado,
lado, lado): três lados congruentes.
3º ALA (ângulo,
lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.
4º LAA (lado,
ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do
ângulo oposto ao lado.
Através das definições de congruência de triângulos podemos
chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse
método damos o nome de demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os
ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um
triângulo isósceles são congruentes.
Propriedade dos Quadriláteros:
Quadriláteros são
figuras geométricas planas, poligonais e formadas por quatro lados.
Em outras palavras, essa definição implica as seguintes características:
· Quadriláteros são figuras definidas em um plano, por isso,
não existem pontos dessa figura fora do plano (no que chamamos de espaço);
·
São formados por segmentos de
reta que se encontram em suas extremidades, por isso, são figuras fechadas;
·
Possuem três classificações
básicas:
O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é
perceptível quando se observa seus lados opostos. Lados que possuem ponto em
comum não podem ser paralelos justamente por possuírem ponto em comum.
Paralelogramos:
Para ser
paralelogramo, é necessário que o polígono seja um quadrilátero e
que seus lados opostos sejam paralelos. Essa definição implica uma série de
resultados, chamados aqui de propriedades. Elas são válidas para todo paralelogramo e
serão discutidas a seguir:
1 – ângulos
opostos são congruentes;
2 – ângulos
não opostos são suplementares;
3 – Lados
opostos são congruentes;
4 – As
diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto médio.
OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui
lados opostos paralelos e congruentes, então ele é um paralelogramo.
A seguir
discutiremos propriedades de alguns paralelogramos específicos.
Retângulos:
Os retângulos
são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um resultado direto
disso é que seus lados opostos são paralelos. Para ver isso, basta considerar
qualquer um de seus lados como uma reta transversal e observar que ela corta
outros dois lados formando o mesmo ângulo: 90°.
Todo retângulo, portanto, é também um paralelogramo. Entretanto, nem todo paralelogramo é um retângulo. Assim, para o retângulo, valem as quatro propriedades dos paralelogramos citadas acima, além da seguinte:
Todo
retângulo possui diagonais congruentes.
O resultado mais direto dessa
propriedade é o seguinte: Se um paralelogramo possui diagonais congruentes,
então ele é um retângulo.
Losangos:
Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. Desse modo, todo losango é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um losango.
Esse
quadrilátero possui as mesmas propriedades dos paralelogramos, além da
seguinte:
As diagonais de um losango formam um
ângulo reto.
Assim, se um paralelogramo possui
diagonais perpendiculares, então ele é um losango.
Quadrado:
Um quadrado é um paralelogramo que
possui os quatro lados iguais e, além disso, possui ângulos retos. Dessa
maneira, um quadrado é, ao mesmo tempo, um losango e um retângulo. Entretanto,
nem todo losango é quadrado e nem todo retângulo é quadrado.
A propriedade específica do quadrado é
a seguinte:
As diagonais de um quadrado formam
ângulos retos e são congruentes.
Assim, se um paralelogramo possui
diagonais que formam um ângulo reto e que são congruentes, então esse
paralelogramo é um quadrado.
Observe que o critério acima é
exatamente uma junção dos discutidos para o losango e para o retângulo.
Trapézios:
São os
quadriláteros que possuem apenas um par de lados opostos paralelos.
Esses lados são chamados de bases do trapézio. Os trapézios
não são paralelogramos, por isso, as propriedades dos paralelogramos não são
válidas para os trapézios.
Existem três
classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os trapézios retângulos e os
trapézios isósceles.
A primeira
classe diz respeito àqueles que não são retângulos nem isósceles. Já os
trapézios retângulos:
Trapézios
retângulos
São trapézios
que possuem dois ângulos internos com medida de 90°.
Trapézios
isósceles
São os
trapézios em que os lados que não são paralelos possuem a mesma medida (são
congruentes).
É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do
corte feito em um triângulo isósceles, desde que esse corte descreva uma reta
paralela à base desse triângulo. Quando isso é feito, o resultado é outro
triângulo isósceles semelhante ao primeiro e um trapézio isósceles.
As
propriedades específicas para o trapézio isósceles são as seguintes:
1 – Os ângulos
da base maior do trapézio isósceles são iguais;
2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes.
Quadriláteros convexos:
Existem quadriláteros
convexos e não convexos. O primeiro grupo é formado por todos aqueles em que a
reta que contém qualquer um de seus lados não intercepta o outro lado. Se
existe pelo menos um lado que não possui essa característica, então, ele é
chamado de não convexo ou côncavo.
UM QUADRO RESUMO DOS QUADRILÁTEROS:
ATIVIDADE PROPOSTA: Aluno resolve
01. Façam
uma leitura com bastante atenção desse material e no término da leitura façam
um resumo do que você entendeu, abordando todos os itens trabalhados e pegando
do seu livro didático ou da internet exemplos para ilustrar seu resumo. Um bom
trabalho para todos!
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