8º ANOS - MATEMÁTICA - PROF: STÊNIO AGUIAR - 19ª SEMANA - (B/C)

 MATEMÁTICA – SEMANA (13, 14 e 16) DE OUTUBRO

ANO/SEGMENTO: 8º Ano/ Anos Finais

COMPONENTE CURRICULAR: Matemática

UNIDADE TEMÁTICA: Números.

OBJETOS DE CONHECIMENTO: I) Notação científica; II) Potenciação e radiciação.

HABILIDADES:

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

 

DESENVOLVIMENTO DO PLANO:

VÍDEOS SOBRE POTÊNCIAS DE EXPOENTES INTEIROS,  NOTAÇÃO CIENTÍFICA E A RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ.

https://www.youtube.com/watch?v=QC5OTp1sVP0

https://www.youtube.com/watch?v=zlkqCb4P6Nc

https://www.youtube.com/watch?v=MQQJ-lxftro

https://www.youtube.com/watch?v=7cW7sDoQ8Dg

https://www.youtube.com/watch?v=tBgctYgDm38

 

POTÊNCIAS DE EXPOENTES INTEIROS:

Potência de base inteira:

Quando trabalhamos com base sendo números inteiros é necessário obedecer algumas regras no cálculo da potência.

O cálculo da potência de base de número inteiro é dividido em base positiva e base negativa.

• Base positiva:

Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente.

(+2)⁵ = +2 . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = 32

Como a base é positiva podemos escrever essa mesma potência sem representação do sinal de +.

2⁵ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

• Base negativa:

Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação.

(-5)³ = (-5) . (-5) . (-5) = - 125

Como estamos multiplicando uma quantidade ímpar de fatores e todos eles são negativos a potência (resultado) também será negativa, ou seja, sempre que o expoente for ímpar e a base negativa a potência será negativa.

(-3)⁴ = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 81

Nesse caso, a potência (resultado) ficou positiva, pois quando multiplicamos quantidades pares de fatores negativos a potência sempre será positiva, ou seja, quando a Base for negativa e o expoente for par a potência será positiva.

Exemplos:

(-15)² = 225

(-3)³ = -27

 

Potências com expoente negativo:

 

Uma potência com expoente negativo é calculada utilizando-se o inverso da base e o oposto do expoente.

 

Quando aprendemos a operar potências, a primeira e mais simples regra que dominamos é que devemos sempre multiplicar a base por ela mesma quantas vezes indicar o expoente. Por exemplo, se temos a potência 2¹⁰, devemos multiplicar o 2 por 10 vezes da seguinte forma:

 

2¹⁰ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024

 

Mas e se o expoente for um número negativo? Como resolver a potência 2^{– 10}? Vejamos uma nova regra que ajudará na resolução de potências com expoente menor do que zero!

Dada uma potência x ^{– y}, com x e y reais, o seu resultado é igual ao inverso de x elevado a y.

 

Para compreender essa definição, precisamos primeiro compreender o que é o inverso de um número. Dado um número qualquer, seu inverso é a fração cujo numerador é 1, e o denominador é o próprio número. Por exemplo, o inverso de 5 é 1/5, e o inverso de 10 é 1/10 . Mas qual é o inverso de uma fração? A ideia é a mesma! Vejamos a fração ½: para encontrar seu inverso, vamos colocá-la como denominador de uma fração em que o numerador é 1 e fazer uma simples divisão de fração:

 

Agora se você quiser simplificar mais ainda o processo para encontrar o inverso de uma fração, há uma dica infalível: basta inverter a fração, trocando o denominador de lugar com o numerador! Por exemplo, o inverso de ²/₅ é ⁵/₂, o inverso de ⁷/₃ é ³/₇ e o inverso de ¹/₄ é ⁴/₁, ou, simplesmente, 4.

 

Voltando para a pergunta do início do texto, vamos calcular o valor de 2^{– 10}.

 

 

Vejamos alguns outros exemplos de potências com expoente negativo e observe como esse assunto relaciona-se com a potenciação de números racionais:

 

1° Exemplo: 3 ^{– 2}

 

O inverso de 3 é ¹/_3. Logo, para calcular 3 ^{– 2}, faremos:

 

2° Exemplo: 10 ^{– 1}

 

O inverso de 10 é ¹/₁₀. Calculando 10 ^{– 1}, temos:

 

3° Exemplo: (³/₄) ^{– 3}

 

O inverso de ³/₄ é ⁴/_3. Então (³/₄) ^{– 3} será dado da seguinte forma:

4° Exemplo: (^{– 2}/₃) ^{– 4}

 

O inverso de ^{– 2}/₃ é ^{– 3}/₂. Calculando (^{– 2}/₃) ^{– 4}, teremos:

 

NOTAÇÃO CIENTÍFICA:

A notação científica é uma forma de escrever números usando potência de 10. É utilizada para reduzir a escrita de números que apresentam muitos algarismos.

Números muito pequenos ou muito grandes são frequentemente encontrados nas ciências em geral e escrever em notação científica facilita fazer comparações e cálculos.

Um número em notação científica apresenta o seguinte formato:

N . 10ⁿ

 

Sendo:

 

N um número real igual ou maior que 1 e menor que 10;
n um número inteiro.

 

Exemplos

 

a) 6 590 000 000 000 000 = 6,59 . 10 ¹⁵

b) 0, 000000000016 = 1,6 . 10 ^{- 11}

 

Transformar um número em notação científica:

 

Veja abaixo como transformar os números em notação científica de forma prática:

1º Passo: Escrever o número na forma decimal, com apenas um algarismo diferente de 0 na frente da vírgula.

2º Passo: Colocar no expoente da potência de 10 o número de casas decimais que tivemos que "andar" com a vírgula. Se ao andar com a vírgula o valor do número diminuiu, o expoente ficará positivo, se aumentou o expoente ficará negativo.

3º Passo: Escrever o produto do número pela potência de 10.

 

Exemplos:

 

1) Transformar o número 32 000 em notação científica.

·         Primeiro "andar" com a vírgula, colocando-a entre o 3 e o 2, pois desta forma ficaremos apenas com o algarismo 3 antes da vírgula;

 

·         Para colocar a vírgula nesta posição verificamos que tivemos que "andar" 4 casas decimais, visto que nos números inteiros a vírgula se encontra no final do número. Neste caso o 4 será o expoente da potência de 10.

 

·         Escrevendo em notação científica: 3,2 . 10⁴

 

2) A massa de um elétron é de aproximadamente 0,000000000000000000000000000911 g. Transforme esse valor para notação científica.

·         Primeiro "andar" com a vírgula, colocando-a entre o 9 e o 1, pois desta forma ficaremos apenas com o algarismo 9 (que é o primeiro algarismo diferente de 0) antes da vírgula;

 

·         Para colocar a vírgula nesta posição "andamos" 28 casas decimais. É necessário lembrar que ao colocar a vírgula depois do 9, o número ficou com um valor maior, então para não modificar seu valor o expoente ficará negativo;

 

·         Escrevendo a massa do elétron em notação científica: 9,11 . 10 ^{- 28} g

 

RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ:

Potência fracionária:

 

Nos estudos de potências, estudamos inúmeras propriedades acerca dos expoentes. Estudaremos os expoentes fracionários, a fim de compreender o verdadeiro significado destes expoentes, quando escritos em forma de frações.

Façamos nosso estudo partindo de um número qualquer:

Podemos escrever este número em forma de uma raiz quadrada (pois o denominador da fração é 2). 

Com isso você deve estar se perguntando, e o número 1 que está no numerador? Ele está presente no expoente do número (a), entretanto não existe a necessidade de escrevê-lo. Tendo um número em uma raiz, podemos realizar o processo inverso também, escrevendo-o como um número com potência fracionária.

Note que quando escrevemos um número com potência fracionária, teremos a seguinte propriedade:

O numerador da potência corresponde ao expoente do número que está na base.

O denominador da potência corresponde ao grau da raiz. No nosso caso é uma raiz de grau 3 (raiz cúbica).

Fazer essa transformação de um número em uma raiz para um número com potência fracionária nos auxilia quando queremos multiplicar números de mesma base, porém em raízes de graus diferentes.

 

Vejamos o seguinte exemplo:

Faremos a transformação de cada uma dessas radiciações para números com potência fracionária e depois disso efetuaremos a multiplicação desses números.

Agora podemos realizar a multiplicação dos números que possuem mesma base:

Se quisermos escrever este número em forma de radiciação, teremos:

Podemos simplificar números elevados ao quadrado que estão dentro de uma raiz quadrada, pois o numerador e denominador são iguais.

Vejamos alguns exemplos:

Por fim, façamos a generalização da transformação de um expoente fracionário para uma radiciação e vice-versa.

Vejamos alguns exemplos:

ATIVIDADES PROPOSTAS:

01. Qual dos resultados a seguir é solução da potência 10^{– 6}?

a) 0,01

b) 0,001

c) 0,0001

d) 0,00001

e) 0,000001

02.Calcule as seguintes potências com expoente negativo: Não esqueça: a ^-m = 1/ a^m

 

a) 10 ^-2   b) (-5/8)^-2     c)  (-3/2)^-3  d) (-3) ^-3    e) (+2/3)^-2   f)  (+1/2)^-5

 

03.Passe os números a seguir para notação científica.

a) 105 000

b) 0,0019

 

04. A distância entre o Sol e a Terra é de 149 600 000 km. Quanto é esse número em notação científica?

 

05.(Enem/2015) As exportações de soja no Brasil totalizaram 4,129 milhões em toneladas no mês de julho de 2012 e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012

A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de:

a) 4,129 x 10³
b) 4,129 x 10⁶
c) 4,129 x 10⁹
d) 4,129 x 10¹²
e) 4,129 x 10¹⁵

 

06. (Enem/2017) Uma das principais provas de velocidade do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No Campeonato Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 43,18 segundos.

Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é

a) 0,4318 x 10²
b) 4,318 x 10¹
c) 43,18 x 10⁰
d) 431,8 x 10^-1
e) 4 318 x 10^-2

 

07.Escreva em forma de potência com expoente fracionário:

a) ³√7² = 
b) ⁵√a³ = 
c) √10 = 
d) ⁴√a³ = 
e) √x⁵ = 
f) ³√m =